Octagon

Octagon rheolaidd
Octagon rheolaidd
Ymylon a Fertigau	8
Symbol schläfli	{8} t{4}
Diagram Coxeter–Dynkin
Grŵp cymesuredd	Deuhedrol (D8)
Arwynebedd (gyda t=hyd ymyl)	$2(1+{\sqrt {2}})t^{2}$ $\simeq 4.828427t^{2}.$
Ongl mewnol (gradd)	135°

Polygon wyth ochrog yw octagon mewn geometreg. Cynyrchiolir octagon rheolaidd gan y Symbol schläfli {8}.

Octagonau rheolaidd

Gellir creu octagon rheolaidd gyda chwmpawd ac ymyl syth (e.e. pren mesur). I wneud hyn, dilynwch y camau o 1 i 18 o'r animeiddio, gan nodi nad yw radiws y cwmpawd yn cael ei newid yn ystod camau 7 i 10.

Mae octagon rheolaidd yn octagon sydd â phob ochr o'r un hyd a phob ongl mewnol yr un maint. Mae ongl mewnol pob fertig octagon rheolaidd yn 135° ac mae swm yr holl onglau mewnol yn 1,080°.

Rhoddir arwynebedd octagon rheolaidd gydag ochr hyd a gan

$A=2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\simeq 4.828427\,a^{2}.$

Yn nhermau $R$, (circumradius) yr arwynebedd yw

$A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2.828427\,R^{2}.$

Yn nhermau $r$, (inradius) yr arwynebedd yw

$A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.3137085\,r^{2}.$

Yn naturiol, mae'r ddau gyfernod olaf yn cromfachu'r gwerth pi, sef ardal y cylch.

Octagon wedi ei mewnosod mewn sgwâr.

Gellir hefyd ganfod yr arwynebedd fel hyn:

$\,\!A=S^{2}-B^{2}.$

$S$ yw rhychwant yr octagon, neu'r croeslin ail-fyraf; a $B$ yw hyd un o'r ochrau neu'r gwaelod. Gellir profi hyny'n hawdd gan gymryd octagon, a darlunio sgwâr o gwmpas y tu allan iddi (gan wneud yn siwr fod pedwar ochr o'r wyth yn cyffwrdd pedwar ochr y sgwâr), a gan gymryd y trionglau sy'n ffurfio'r corneli (trionglau 45-45-90) a'u gosod gyda'r onglau sgwâr yn pwyntio i mewn at ei gilydd gan ffurfio sgwâr. Mae ymylon y sgwâr hwn yr un maint a gwaelod yr octagon.

Gan gymryd y rhychwant $S$, hyd ochr $B$ yw

$S={\frac {B}{\sqrt {2}}}+B+{\frac {B}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})B$

$S=2.414B$

Yr arwynebedd felly yw

$A=((1+{\sqrt {2}})B)^{2}-B^{2}=2(1+{\sqrt {2}})B^{2}.$

Dolenni allanol

• (Saesneg) Sut i ganfod arwynebedd octagon
• (Saesneg) Diffiniad priodweddau octagon Gyda animeiddio rhyngweithiol