Sbiral logarithmig

Mewn mathemateg, math arbennig o spiral yw Sbiral logarithmig, ac fe'i ceir hefyd o fewn byd natur. Fe'i disgrifiwyd yn gyntaf gan Descartes ac ymchwiliwyd ymhellach i'w nodweddion mathemategol gan Jacob Bernoulli a fedyddiwyd ef yn "spira mirabilis" (y sbeiral rhyfeddol, neu wych).

Er nad yn sbiral logarithmig perffaith, mae'r gragen hon yn dangos ei siamberi mewnol, ar ffurf sbiral logarithmig bras. Dengys y llinell las cynnydd y sbiral: $b=0.1759\approx \ln(\varphi )/\pi$.

Sbiral logarithmig (pitch 10°)

Diffiniad

Gellir sgwennu cyfesurynnau polar $(r,\theta )$ y gromlin logarithmig fel

$r=ae^{b\theta }\,$

neu

$\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),$

gydag $e$ yn sylfaen y logarithmau naturiol, ac $a$ a $b$ yn gysonion real, positif a mympwyol.

Yn ei ffurf parametrig, mae'r gromlin yn

$x(t)=r(t)\cos(t)=ae^{bt}\cos(t)\,$

$y(t)=r(t)\sin(t)=ae^{bt}\sin(t)\,$

gyda'r rhifau real $a$ a $b$.

Mae gan y sbiral hwn y briodwedd ganlynol: mae'r ongl $\phi$ rhwng y Tangiad a'r llinell reiddiol ar y pwynt $(r,\theta )$ yn gyson. Gellir mynegi'r priodwedd hon yn nhermau calcwlws differol fel

$\arccos {\frac {\langle \mathbf {r} (\theta ),\mathbf {r} '(\theta )\rangle }{\|\mathbf {r} (\theta )\|\|\mathbf {r} '(\theta )\|}}=\arctan {\frac {1}{b}}=\phi .$

Mae deilliant $\mathbf {r} (\theta )$ yn gyfraneddol i'r parametr $b$. Hynny yw, mae'n rheoli pa mor "dynn" ac i ba gyfeiriad mae'r sbiral yn troelli.

Mae sbiral logarithmig yn wahanol i sbiral Archimedes gan fod pellter rhwng y troadau o fewn y sbiral logarithmig yn cynyddu mewn dilyniant geometraidd, tra bod y troadau o fewn sbiral Archimedes, ar y llaw arall, yn gyson.

• 
  Toriad drwy ran set Mandelbrot
• 
  Gwasgedd isel uwch Gwlad yr Iâ yn ffurfio seiclon gyda'i siâp yn debyg i sbiral logarithmig
• 
  Galaeth drobwll (M51, NGC 5194) gyda'i siâp (fel llawer o alaethau sbiral) yn debyg i'r sbiral logarithmig