Ystadegaeth Bayes

Damcaniaeth o fewn maes ystadegaeth yw ystadegaeth Bayes, a seiliwyd ar waith Thomas Bayes a'i ddilynwyr.^[1] Yma, mae'r tebygolrwydd i rywbeth ddigwydd yn cael ei fynegi, a gall y canlyniad hwn newid wrth i ragor o wybodaeth ddod i'r fei, yn hytrach na gwerth sefydlog. Mae maint y gred, neu pa mor gadarn yw'r gred, fod rhywbeth am ddigwydd wedi'i seilio ar wybodaeth hanesyddol o'r digwyddiad e.e. canlyniadau arbrofion. Mae hyn yn wahanol iawn i ddehongliadau eraill o debygolrwydd, a seiliwyd ar amlder y digwyddiad.^[2]

Mae dulliau ystadegol Bayes yn defnyddio damcaniaeth Bayes i gyfrifo a diweddaru tebygolrwydd, ar ôl derbyn data newydd. Disgrifia'r ddamcaniaeth hon debygolrwydd amodol y digwyddiad, a seiliwyd ar ddata a gwybodaeth neu gredo cynnar neu amodau perthnasol i'r digwyddiad. Er enghraifft, o fewn anwythiad Bayesaidd gellir defnyddio damcaniaeth Bayes i amcangyfrif paramedrau dosbarthiad tebygolrwydd neu fodel ystadegol. Gan fod ystadegaeth Bayes yn trin a thrafod tebygolrwydd fel credo, yna gall y ddamcaniaeth neilltuo dosbarthiad-tebygolrwydd (probability distribution) sy'n meintioli'r credoau i'r paramedrau, neu i set o baramedrau.^[2]

Thomas Bayes

Prif: Thomas Bayes

Athronydd ac ystadegwr Seisnig o Swydd Hertford oedd y Parch. Thomas Bayes (c. 1701 – 7 Ebrill 1761)^[3]^[4]. Mae'n nodedig am theorem Bayes a enwyd ar ei ôl, ond na chyhoeddwyd tan wedi ei farwolaeth. Ei gyfaill, y dyngarwr a'r Cymro byd enwog Richard Price a sylwodd ar y wybodaeth newydd hon, wrth iddo fynd drwy ei bapurau wedi'r angladd.^[3]^[5]

Am resymau a oedd yn ymwneud ag ymarferoldeb, ni ddaeth theorem Bayes yn boblogaidd tan y 1950au, yn bennaf gan fod y cyfrifo'n rhy hir a chymhleth. Ers hynny, ymestynwyd damcaniaeth Bayes i wyddoniaeth a meysydd eraill.^[6]

Theorem Bayes

Gellir datgan y theorem Bayesaidd, mewn hafaliad, fel:^[7]

P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}},

lle mae $A$ a $B$ yn ddigwyddiadau (mathemategol) a $P(B)\neq 0$ .

$P(A\mid B)$ yw'r tebygolrwydd amodol: y tebygolrwydd i'r digwyddiad $A$ ddigwydd, gan fod $B$ yn gywir.
mae $P(B\mid A)$ hefyd yn debygolrwydd amodol: y tebygolrwydd i'r digwyddiad $B$ ddigwydd, gan fod $A$ yn gywir.
$P(A)$ a $P(B)$ yw'r tebygolrwydd o arsylwi $A$ a $B$ yn annibynnol o'i gilydd; gelwir hyn yn "debygolrwydd amodol".

Amlinelliad o ddulliau Bayes

Anwythiad Bayesaidd

Prif: Anwythiad Bayesaidd

Mae 'anwythiad Bayesaidd' yn ddull o anwythiad lle ddehonglir tebygolrwydd fel lefel o grediniaeth yn hytrach nac amledd neu gyfran. Mae'n cyfeirio at ystadegaeth gasgliadol lle mae ansicrwydd yn cael ei feintioli drwy ddefnyddio tebygolrwydd.

Model ystadegol

Prif: Modelu ystadegol

Set o dybiaethau ystadegol yw 'modelu ystadegol', sy'n ymwneud â chynhyrchu rhywfaint o ddata sampl, ei drafod a dod i gasgliadau. Gellir ystyried model ystadegol felly yn "grynodeb digonol" h.y. fod y data a gasglwyd yn cynrychioli'r data llawn, y byd real, a'i fod yn ddigonol i'r dasg a roddwyd. Mae'n ffurfioli'r dasg mewn modd symlach na thrin a thrafod y data llawn.

Ceir tri phwrpas i fodelu ystadegol:

Rhagfynegi
Echdynnu gwybodaeth
Disgrifio strwythurau stocastig^[8], sef gwrthrych a benderfynwyd ar hap.

Dull Bayes o gynllunio arbrawf

Mae dull Bayes o gynllunio arbrawf yn gosod sylfaen neu fframwaith gyffredinol o debygolrwydd-damcaniaethol, ac ar y seiliau hyn, gosodwyd sawl theori arall. Y sail yw'r anwythiad Bayesaidd i ddehongli'r arsylwadau a'r data a gasglwyd yn ystod yr arbrawf. Mae hyn yn caniatau cyfrifo gwybodaeth a gaslwyd cyn ac yn ystod yr arbrawf: ôl-debygolrwydd a rhagdebygolrwydd.

Graffeg ystadegol

Mae graffeg ystadegol yn cynnwys dulliau sy'n ymchwilio i ddata, ar gyfer dilysu'r model. Oherwydd eu cryfder a'u cyflymder, mae'r cyfrifiadur yn chwarae rhan allweddol wrth gyfrifo anwythiad Bayesaidd, yn ogystal â thechnegau megis cadwynni Monte Carlo. Mae defnyddio'r llygad i ddilysu a gwiro'r gwaith, yn aml, yn angenrheidiol.

Termau tebyg

dwysedd tebygolrwydd - probability density
ystadegaeth gasgliadol - inferential statistics^[9]
ôl-debygolrwydd - posterior probability^[10]
rhagdebygolrwydd - prior probability

Gweler hefyd

Cyfeiriadau

↑ "What are Bayesian Statistics?". deepai.org.
↑ ^2.0 ^2.1 Gelman, Andrew; Carlin, John B.; Stern, Hal S.; Dunson, David B.; Vehtari, Aki; Rubin, Donald B. (2013). Bayesian Data Analysis, Third Edition. Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-4398-4095-5.
↑ ^3.0 ^3.1 Bayes's portrait The IMS Bulletin, Cyfr. 17 (1988), Rhif 3, tt. 276–278.
↑ Belhouse, D.R. The Reverend Thomas Bayes FRS: a Biography to Celebrate the Tercentenary of his Birth; Archifwyd 2016-03-05 yn y Peiriant Wayback. Adalwyd Tachwedd 2015
↑ McGrayne, Sharon Bertsch. (2011). The Theory That Would Not Die p. 10., tud. 10, ar Google Books
↑ Paulos, John Allen. "The Mathematics of Changing Your Mind," New York Times (US). 5 Awst 2011; adalwyd 6 Awst 2011
↑ Stuart, A.; Ord, K. (1994), Kendall's Advanced Theory of Statistics: Volume I—Distribution Theory, Edward Arnold, §8.7
↑ Konishi & Kitagawa 2008, §1.1
↑ geiriadur.bangor.ac.uk; Geiriadur Bangor: Y Termiadur Addysg -Ffiseg a Mathemateg; adalwyd 28 Ionawr 2019.
↑ Geiriadur yr Academi; gol. Bruce Griffiths a Dafydd Glyn Jones; adalwyd 28 Ionawr 2019.

[1] "What are Bayesian Statistics?". deepai.org.

[bda-2] 2.0 ^2.1 Gelman, Andrew; Carlin, John B.; Stern, Hal S.; Dunson, David B.; Vehtari, Aki; Rubin, Donald B. (2013). Bayesian Data Analysis, Third Edition. Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-4398-4095-5.

[portrait-3] 3.0 ^3.1 Bayes's portrait The IMS Bulletin, Cyfr. 17 (1988), Rhif 3, tt. 276–278.

[4] Belhouse, D.R. The Reverend Thomas Bayes FRS: a Biography to Celebrate the Tercentenary of his Birth; Archifwyd 2016-03-05 yn y Peiriant Wayback. Adalwyd Tachwedd 2015

[5] McGrayne, Sharon Bertsch. (2011). The Theory That Would Not Die p. 10., tud. 10, ar Google Books

[6] Paulos, John Allen. "The Mathematics of Changing Your Mind," New York Times (US). 5 Awst 2011; adalwyd 6 Awst 2011

[7] Stuart, A.; Ord, K. (1994), Kendall's Advanced Theory of Statistics: Volume I—Distribution Theory, Edward Arnold, §8.7

[8] Konishi & Kitagawa 2008, §1.1

[9] riadur.bangor.ac.uk; Geiriadur Bangor: Y Termiadur Addysg -Ffiseg a Mathemateg; adalwyd 28 Ionawr 2019.

[10] Geiriadur yr Academi; gol. Bruce Griffiths a Dafydd Glyn Jones; adalwyd 28 Ionawr 2019.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]