Trydydd isradd

O fewn algebra, trydydd isradd unrhyw rif (x) yw'r rhifau sy'n bodloni'r hafaliad y³ = x. Os mai'r gwrthwyneb i ddyblu rhif ydy canfod ei ail isradd, yna'r gwrthwyneb i giwbio rhif ydy canfod ei drydydd isradd.

Plot o y = ³√x. Mae'r plot yn gymesur, drwy'r tarddiad, gan ei fod yn od-ffwythiant. Ar x = 0 mae gan y graff hwn dangiad fertig.

Enghreifftiau:

³√8 = 2

³√27 = 3 (achos 3 x 3 x 3 = 27).

³√1000 = (achos 10 x 10 x 10 = 1000)

Ymhellach: mae gan pob rhif real (ar wahân i sero) un trydydd isradd real a phâr o drydydd isradd sy'n gyfieuau cymhlyg (complex conjugates). Yn ogystal, mae gan pob rhif cymhlyg di-sero dri trydydd isradd cymhleth amlwg. Er enghraifft

• trydydd isradd real 8 (a ddynodir gyda ³√8) yw 2, oherwydd 2³ = 8,
• a'r trydydd isradd eraill yw −1 + √3i a −1 − √3i.
• Y tri trydydd isradd o −27i yw

$3i,\quad {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i,\quad {\text{a}}\quad -{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i.$

Ni chysylltir y weithred o drydydd israddio gydag adio na thynnu.

Pan geisir trydydd isradd rhif real, gelwir un o'r trydydd israddau yn "brif trydydd isradd", a chaiff ei ddynodi gan y symbol ³√. Mae'r weithred hefyd yn cael ei gysylltu gyd'r esbonydd ac yn ddosbarthol gyda lluosi a rhannu. Nid yw hyn yn wir pob tro, gyda rhifau cymhlyg, fodd bynnag.

Nodweddion

Rhifau real

I bob rhif real x ceir un rhif real y, fel bod y³ = x. Mae ffwythiant y trydydd isradd yn cynyddu, felly ni all roi'r un canlyniad i ddau fewnbwn gwahanol. O ddefnyddio'r diffiniad hwn, yna mae trydydd isradd unrhyw rif negatif yn rhif negatif.

Tri trydydd isradd 1

Os yw x a y yn rhifau cymhlyg, yna ceir tri canlyniad pan nad yw x yn sero; felly, mae gan x dri trydydd isradd. Mae gan rhif real un trydydd isradd real a dau arall, sy'n ffurfio pâr o gyfieuau cymhlyg. Er enghraifft, trydydd isradd 1 yw:

$1,\quad -{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\quad -{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.$

Mae'r ddau olaf o'r israddau hyn yn arwain at berthynas rhwng pob isradd pob rhif real a chymhlyg; mae'r ddau trdydd isradd i'w canfod drwy luosi'r trydydd isradd hwnnw gyda'r naill trydydd isradd neu'r llall o 1.

Hanes

Gellir olrhain cyfrifo'r trydydd isradd yn ôl at fathemategwyr ym Mabilon, dinas a oedd yn y wlad a elwir heddiw yn Irac, a hynny mor gynnar â 1800 CC.

Ymddangosodd dull o echdynnu trydydd isradd mewn gwaith a elwir yn Naw Pennod ar Gelfyddyd Mathemateg, gan fathemategydd Tsieiniaidd, a sgwennwyd tua'r 2g CC ac a ddatblygwyd ymhellach gan Liu Hui ganrif yn ddiweddarach.

Rhifau cymhlyg

Plot o drydydd isradd cymhlyg, gyda'i ddwy ddalen ychwanegol. Y cyntaf yw'r brif gangen.

Arwyneb Riemann. Gellir gweld yn y diagram hwn, sut mae'r dair ddalen yn ffitio'n daclus i'w gilydd.

Yng nghyd-destun rhifau cymhlyg, gellir diffinio'r prif drydydd isradd, fel y trydydd isradd sydd a'r 'rhan real' mwyaf. Yn yr un modd, gellir ei ddiffinio fel y trydd isradd sydd gyda'r ymresymiad lleiaf o ran gwerth absoliwt. Mae'n perthyn i brif werth y logarithm naturiol gan y fformiwla:

$x^{\frac {1}{3}}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {x}\right).$

Os sgwennwn x fel

$x=r\exp(i\theta )\,$

ble mae r yn rhif real nad yw'n negatif, a θ o fewn yr amrediad

$-\pi <\theta \leq \pi$,

yna, y prif trydydd isradd cymhlyg yw

${\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).$

Dulliau rhifiadol

Gellir defnyddio 'dull Newton' i gyfrifo'r trydydd isradd. Ar gyfer rhifau 'pwynt arnawf' (floating-point) real, gellir lleihau'r dull hwn i'r algorithm canlynol, sy'n rhoi brasamcan o drydd isradd a, sy'n gwella, bob yn un ag un:

$x_{n+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{n}^{2}}}+2x_{n}\right).$

Mae 'dull Halley', fodd bynnag, yn gwella ar hyn, gydag algorithm sy'n cydgyfeirio'n gynt, bob yn gam:

$x_{n+1}=x_{n}\left({\frac {x_{n}^{3}+2a}{2x_{n}^{3}+a}}\right).$